Eindhovense wiskundige lost 61 jaar oud raadsel op met hulp van kunstmatige intelligentie

EINDHOVEN – Een wiskundig probleem waar wetenschappers al sinds 1965 hun hoofd over breken, lijkt eindelijk opgelost. De Eindhovense wiskundige Tom Verhoeff heeft met hulp van kunstmatige intelligentie een bewijs gevonden voor een ruim zestig jaar oud vermoeden. Bijzonder is dat een nieuw AI-model daarna zelf met een veel eenvoudigere oplossing kwam. De ontdekking laat zien hoe snel kunstmatige intelligentie zich ontwikkelt en welke gevolgen dat kan hebben voor wetenschappelijk onderzoek.

Het probleem werd in 1965 bedacht door de Amerikaanse wiskundige Derrick Henry Lehmer. Hij vroeg zich af of het mogelijk is om alle verschillende volgordes van een groep voorwerpen te doorlopen door steeds twee voorwerpen naast elkaar van plaats te laten wisselen.

Dat klinkt misschien als een eenvoudige puzzel, maar de moeilijkheid ontstaat wanneer sommige voorwerpen hetzelfde zijn.

Stel je zes dansers voor die naast elkaar staan. Twee dragen een rood shirt, twee een blauw shirt en twee een groen shirt. Samen kunnen ze op 90 verschillende manieren in een rij staan. Maar kun je al die opstellingen achter elkaar maken door telkens twee buren te laten wisselen, zonder steeds dezelfde opstellingen tegen te komen?

Lehmer vermoedde dat dit mogelijk moest zijn, zolang een klein aantal noodzakelijke omwegen werd toegestaan. In het voorbeeld met zes dansers zijn 96 wisselingen voldoende om alle 90 opstellingen te doorlopen en weer bij het begin uit te komen.

Een algemeen wiskundig bewijs voor dergelijke situaties ontbrak echter al die jaren.

Tom Verhoeff, gepensioneerd wiskundige en informaticus van de Technische Universiteit Eindhoven (TU/e), houdt zich al lange tijd met het vraagstuk bezig. In 2017 slaagde hij erin een deel van het probleem op te lossen, namelijk situaties waarin slechts twee verschillende soorten voorwerpen voorkomen.

De moeilijkere gevallen, met meerdere kleuren en wisselende aantallen, bleven een uitdaging.

Het vraagstuk staat zelfs vermeld in het bekende standaardwerk The Art of Computer Programming van de Amerikaanse informaticus Donald Knuth. Daarin werd het jarenlang beschouwd als een nog onopgelost wiskundig probleem.

Verhoeff besloot zijn onderzoek opnieuw op te pakken. Daarbij maakte hij gebruik van verschillende AI-systemen die hem hielpen bij het bedenken, uitwerken en controleren van mogelijke oplossingen.

Na maanden onderzoek ontstond een uitgebreid bewijs dat uit ongeveer 150 pagina's bestond. Daarnaast werd het gecontroleerd met Lean, speciale software waarmee wiskundige bewijzen stap voor stap kunnen worden nagekeken.

Die controle omvatte meer dan 100.000 regels computercode.

De grootste verrassing kwam in september 2026. Verhoeff liet het nieuwe AI-model Claude Opus 5.5 van het Amerikaanse technologiebedrijf Anthropic opnieuw naar het probleem kijken.

Het model kreeg niet de opdracht om het bestaande bewijs in te korten, maar om zelfstandig een andere aanpak te bedenken.

Binnen enkele uren kwamen twee belangrijke nieuwe inzichten naar voren. Het AI-systeem ontdekte dat alle mogelijke opstellingen konden worden verdeeld in overzichtelijke groepen. Vervolgens vond het een manier om die groepen met elkaar te verbinden.

Daardoor waren veel ingewikkelde berekeningen en afzonderlijke uitzonderingen niet langer nodig.

Het resultaat was een veel korter en overzichtelijker bewijs. Het nieuwe wetenschappelijke artikel telt nog maar 29 pagina's. Ook de computercontrole werd aanzienlijk kleiner: van meer dan 100.000 naar ongeveer 35.000 regels code.

Opvallend is dat een eerdere poging om AI zelfstandig een oplossing te laten ontwikkelen nog niets bruikbaars had opgeleverd. Enkele maanden later bleek een nieuwer model daartoe wel in staat.

Bij het onderzoek speelden meerdere AI-systemen een rol. Claude Opus 5.5 leverde de belangrijkste ideeën voor de nieuwe wiskundige aanpak.

Een ander AI-model, DeepSeek V4.1 Flash, hielp bij het vertalen van de redeneringen naar computerprogramma's. Daarmee konden verschillende onderdelen van het bewijs met concrete voorbeelden worden gecontroleerd.

Voor deze berekeningen werd gebruikgemaakt van Spike-1, de supercomputer van de TU Eindhoven.

Ook het AI-systeem Aristotle van technologiebedrijf Harmonic werd ingezet. Dit systeem zette de wiskundige redeneringen om naar de formele taal van Lean, waarmee de logische stappen computergestuurd gecontroleerd konden worden.

Hoewel AI een belangrijke bijdrage leverde, bleef Verhoeff verantwoordelijk voor de richting van het onderzoek, de wetenschappelijke beoordeling en de uiteindelijke publicatie.

De ontdekking is niet alleen bijzonder vanwege het oplossen van een oud wiskundig probleem. Vooral de manier waarop het bewijs tot stand kwam, trekt de aandacht.

Kunstmatige intelligentie wordt al jaren gebruikt om ingewikkelde berekeningen uit te voeren en grote hoeveelheden informatie te verwerken. Nieuw is dat steeds krachtigere systemen ook zelf oplossingsrichtingen kunnen voorstellen die onderzoekers nog niet eerder hadden bedacht.

Dat kan grote gevolgen hebben voor universiteiten en wetenschappers.

Waar onderzoekers voorheen maanden of jaren konden besteden aan het ontwikkelen van ingewikkelde bewijzen, kunnen AI-systemen inmiddels in korte tijd nieuwe mogelijkheden onderzoeken.

Dat betekent niet dat de menselijke wiskundige overbodig wordt. Het blijft noodzakelijk om de juiste vragen te stellen, resultaten kritisch te beoordelen en te controleren of een bewijs daadwerkelijk klopt.

Wel verandert mogelijk de manier waarop wiskunde wordt onderzocht en onderwezen. Studenten zullen niet alleen moeten leren hoe ze zelf een bewijs opstellen, maar ook hoe ze door AI ontwikkelde oplossingen kunnen begrijpen en beoordelen.

De ontwikkeling in Eindhoven past binnen een bredere verandering in de wetenschappelijke wereld.

Zo maakte OpenAI op 6 oktober bekend dat het met een intern AI-model nieuwe resultaten heeft bereikt bij een groot aantal wiskundige vraagstukken. Het bedrijf heeft deze resultaten openbaar gemaakt, zodat andere onderzoekers ze kunnen bestuderen.

De snelle ontwikkelingen roepen tegelijkertijd vragen op over de betrouwbaarheid en begrijpelijkheid van onderzoek dat grotendeels met kunstmatige intelligentie tot stand komt.

Een wiskundig bewijs moet immers niet alleen correct zijn, maar bij voorkeur ook door andere wetenschappers kunnen worden begrepen en gecontroleerd.

Verhoeff heeft zijn nieuwe bewijs op 1 oktober 2026 gepubliceerd op arXiv, een internationaal platform waarop wetenschappers hun onderzoeksresultaten kunnen delen voordat deze officieel door vakgenoten zijn beoordeeld.

Het bewijs is inmiddels met gespecialiseerde computersoftware gecontroleerd. Toch moet de gebruikelijke onafhankelijke wetenschappelijke beoordeling nog plaatsvinden.

Daarmee is een belangrijke stap gezet in een vraagstuk dat sinds 1965 openstond.

Na 61 jaar lijkt het raadsel van Lehmer eindelijk opgelost. Tegelijkertijd onderstreept het Eindhovense onderzoek hoe ingrijpend kunstmatige intelligentie het wetenschappelijke werk kan veranderen. Niet alleen door sneller te rekenen, maar ook door nieuwe ideeën aan te dragen die onderzoekers verder helpen.